¿Qué es una Manzana?

El Lugar de las Matemáticas en la Teoría del Conocimiento

Ángel Del Río Vázquez 

Profesor de Matemáticas  

 IES. Rosalía de Castro. Santiago de Compostela

Quiero, antes de nada, agradecer a vuestra profesora, mi compañera y amiga Elena, la oportunidad que me brinda de dirigirme a vosotros en esta pequeña charla informal sobre el tema que encabeza estas líneas. Para un profesor recién jubilado como yo, esta invitación es una muestra de afecto y consideración que valoro en muy alto grado.Había pensado, inicialmente, preparar un texto sobre el tema con más unidad y tal vez menos disperso que el que ahora os ofrezco. Después, una vez leídas con atención las cuestiones propuestas por Elena, he decidido, dado lo sugerente de sus preguntas, contestarlas una por una, como dando respuestas a un cuestionario de examen o, quizás mejor, a un sondeo de opinión.Lo que ha resultado de ello es lo que va a continuación. Ruego, de antemano, a los que escuchéis o leáis este pequeño texto, seáis benévolos con las más que probables imprecisiones o incluso errores, propias de algo escrito sobre la marcha, sin ninguna clase de consulta y, por supuesto, sin más pretensión que suscitar en vosotros el interés por el tema, que os lleve a indagar en lecturas especializadas. Si consigo despertar vuestra curiosidad por estas cuestiones, me daré por satisfecho.Contesto pues, una a una, las preguntas planteadas por Elena que creo que propician una visión de los principales aspectos del tema.

      1) ¿Es posible calificar a las Matemáticas de lenguaje universal? :

Creo que el lenguaje matemático es un lenguaje universal, en tanto que no está afectado por diferencias culturales ni ideológicas, en la medida en que limita su campo de acción al estudio de las propiedades de los objetos matemáticos. Propiedades que se demuestran mediante el razonamiento lógico, más o menos formalizado. Estos objetos matemáticos son, o bien conceptos obtenidos por abstracción a partir de objetos reales del mundo físico, o bien conceptos definidos a partir de estos, siendo a su vez estos últimos, el punto de partida de nuevas definiciones, formando, en cada rama de la matemática, una enorme cadena de objetos, cuyas propiedades, una vez enunciadas y demostradas, constituyen el desarrollo de cada teoría matemática.

Respecto al lenguaje matemático en sentido estricto, hay que decir que se trata básicamente de un lenguaje escrito: un conjunto de signos con sus reglas morfológicas y sintácticas, aceptadas universalmente (con algunas variantes), que incluyen buena parte de las notaciones de la lógica, en especial de la lógica de clases, a través de la teoría de conjuntos. Este lenguaje conjuntista, que surge en la primera mitad del siglo XX, ha supuesto un elemento unificador de los lenguajes propios de las distintas ramas de la Matemática, empezando por el Álgebra y la Topología y proyectándose luego en la Geometría y el Análisis Matemático y, a través de éste, en las diversas disciplinas de la Matemática Aplicada. A mediados del pasado siglo aparece también la Teoría de Categorías que, con un enfoque algo distinto, generaliza la Teoría de Conjuntos y proporciona otro lenguaje de gran poder unificador.

En cuanto a la lectura oral del lenguaje matemático, debemos constatar que la universalidad se pierde en la medida en que, al apoyarse en la lengua natural propia de cada país, queda singularizada por ella. Por otra parte, en la exposición oral o escrita de una teoría matemática acudimos siempre al lenguaje natural, que opera así a modo de metalenguaje. De este modo, la validez de un desarrollo puramente matemático va siendo expuesta y razonada, paso a paso, en el lenguaje natural correspondiente, con la única precaución de evitar, en lo posible, las ambigüedades propias de éste.

            En resumen: El lenguaje matemático es universal en cuanto a su contenido conceptual, o sea, en cuanto a las verdades que enuncia y demuestra sobre las propiedades de los objetos matemáticos. Respecto a la forma de expresar estas verdades no hay una auténtica universalidad, salvo que nos refiramos a teorías matemáticas plenamente formalizadas, como la Teoría Axiomática de Conjuntos, propias de los Fundamentos de la Matemática, desarrolladas en un lenguaje de la Lógica Formal.

       2) ¿En qué medida son las Matemáticas un producto de la interacción social humana?

Son, sin duda, un producto de la interacción social, como cualquier manifestación científica o cultural. Hay que recordar que la matemática surge ante la necesidad de resolver o interpretar diversos problemas y necesidades de la vida cotidiana de los hombres y de los pueblos. A medida que las sociedades evolucionan se va haciendo más y más necesario disponer de procedimientos para resolver las necesidades cada vez más complejas de los humanos. Pero no sólo esto; a partir de un cierto grado de complejidad, las matemáticas habrán de reorganizarse y revisar sus conocimientos para emprender la tarea de agrupar los problemas más o menos análogos entre sí, en grandes grupos de cuestiones cuyo estudio se puede hacer en común, y cuyas conclusiones sean así aplicables a todos ellos (me refiero a esos problemas de ciertos caracteres comunes). 


3) ¿Cuál es el papel de la comunidad matemática en determinar la validez de una prueba matemática?

Al contrario de lo que ocurría en tiempos pasados, hoy día los resultados de una investigación matemática, en particular de la prueba de un teorema, se comunican inmediatamente a la comunidad científica, y con ello son sometidos al análisis minucioso y exhaustivo de los mejores especialistas del tema, los cuales aportan enseguida su conformidad o disconformidad razonada, proponiendo, en su caso, las matizaciones u objeciones oportunas.

4)      ¿Por qué diferentes culturas otorgan un valor diferente a las matemáticas?

Es evidente que las culturas más avanzadas, es decir, aquellas que dan prioridad al conocimiento objetivo y al enfoque racional tanto de los asuntos prácticos como de los grandes temas, y se definen por la discusión inteligente ante las cuestiones de opinión, en general estarán inclinadas a valorar el estudio y desarrollo de las matemáticas, otorgándoles un puesto de honor entre las diversas manifestaciones de la ciencia y la cultura.

Por el contrario, las culturas envueltas en la nebulosa de los dogmatismos religiosos, culturas primitivas que no han pasado de una explicación de tipo doctrinal para interpretar los grandes misterios de la vida y que, de acuerdo con este estilo, no sólo no fomentan, sino que incluso evitan -o hasta prohíben-la educación cultural que nos lleva a la libertad de conciencia, estas culturas-repito- no valoran en absoluto las matemáticas, puesto que no desean de ninguna manera la capacidad de pensamiento racional de sus pueblos - me refiero, naturalmente, a las intenciones de los dirigentes políticos de estos pueblos.


    5) ¿Cómo explicarías las siguientes características, que parecen ser propias de las matemáticas especialmente? Algunas personas las aprenden muy fácilmente y superan con creces a sus compañeros de la misma edad; a otros, en cambio, les resulta casi imposible aprenderlas, a pesar de lo mucho que se esfuerzan; por otra parte, se considera que la mayoría de los matemáticos sobresalientes producen sus mejores resultados antes de alcanzar los treinta años de edad.

Respecto a la primera pregunta, sin duda hay una gran diferencia de aptitudes para comprender los conceptos matemáticos entre unas personas y otras. Lo mismo ocurre con la mayor o menor dificultad a la hora de realizar con corrección los desarrollos de cálculo y los procesos de deducción en cadena. El carácter abstracto de los conceptos matemáticos suele mencionarse como el motivo principal de la dificultad para su comprensión, y sin duda hay algo de verdad en esta apreciación. De todos modos no debemos olvidar que el concepto abstracto es, en definitiva, el resultado de un proceso de abstracción, es decir, hasta cierto punto, de una simplificación de la realidad, a la que se ajusta en mayor o menor medida. En efecto, tal proceso de abstracción consiste en dejar a un lado (abstraer) todo lo que se considera circunstancial, para centrarse exclusivamente en el aspecto fundamental objeto de estudio. Con todo, el concepto abstracto exige, para su correcta asimilación, una cierta madurez mental; suele ayudar el hábito de volver cuantas veces sea preciso, en un proceso inverso al de abstracción, al objeto original con cuyo abstracto estamos trabajando (cerciorarse de que sabemos de que estamos hablando). Por otra parte, y a pesar de lo dicho, los casos de gran dificultad para entender las matemáticas son, no pocas veces, el resultado de una postura inicial negativa, del convencimiento de la propia incapacidad de comprensión, a lo cual no es ajena, en ocasiones, la influencia nefasta de un mal profesor en las etapas iniciales del aprendizaje.

En cuanto a la segunda pregunta de este epígrafe, parece que, efectivamente, los mejores resultados de la investigación matemática son obtenidos por personas muy jóvenes- menos de treinta años- pero creo que esto es así sólo en la investigación. En la actividad docente, en mi opinión, los mejores resultados se dan en edad más avanzada, ya que la experiencia profesional y la reflexión continua sobre las dificultades principales del temario impartido año tras año, son aquí determinantes. En cualquier caso, tanto en una como en otra actividad, hay jugadores de primer tiempo y jugadores de segundo tiempo (o incluso de tiempo de descuento o de prórroga).

    6) ¿Qué cuenta como comprensión en matemáticas? ¿Basta con hallar la respuesta correcta a un problema matemático para decir que uno entiende las matemáticas en cuestión?

Creo que no basta. Una vez hallada la solución correcta de un problema, debemos analizar pausadamente todos los pasos del procedimiento seguido, intentando fundamentar dicho proceso y, si es posible, expresarlo en lenguaje preciso y en su caso en lenguaje formal. El problema no queda completamente entendido mientras no seamos capaces de hacérselo comprender a los demás, lo que exige bastante reflexión y claridad en la exposición.

7)   ¿Hay aspectos de las matemáticas que podamos elegir si creerlos o no?

Las verdades matemáticas, en principio, no son opinables. Si una proposición matemática está demostrada, debemos entender que es verdadera, al menos mientras nadie demuestre de manera fehaciente que la demostración que se ha dado es incorrecta. Si tal ocurre dicha proposición queda desechada, si bien a veces se mantiene como válida añadiendo alguna nueva hipótesis que haga buena la demostración (aunque en ese caso la proposición pierde fuerza como aportación matemática).

Lo que si hay, en cambio, es cierta discrepancia entre los matemáticos respecto a la validez de determinados métodos de demostración. Así por ejemplo, la llamada escuela intuicionista no acepta las demostraciones basadas en razonamientos por recurrencia con un número infinito de pasos. Esto ocurre, por ejemplo, en el método de inducción completa, también llamado de inducción matemática.

8)     ¿Cómo elegimos los axiomas subyacentes a las matemáticas? ¿Es un acto de fe?

En cada teoría matemática que ha alcanzado el nivel axiomático en su desarrollo, se parte de un pequeño número de conceptos primitivos, es decir, no definidos, cuyo significado se considera intuitivo, y una lista, generalmente breve, de propiedades de estos conceptos que se dan como verdaderas, a las que llamamos axiomas o postulados. A partir de ellas se van demostrando diversas otras propiedades, que pasan a engrosar la lista de verdades de las que también se puede echar mano (además de los axiomas) para demostrar nuevas propiedades .Estas nuevas verdades reciben a veces distintas denominaciones, según la mayor o menor complejidad de su demostración. Así nos encontramos con teoremas (de cierta entidad), lemas (proposiciones preparatorias para facilitar la demostración de un teorema), corolario (consecuencia de un teorema en un caso particular), etc.

            La elección de los axiomas de una teoría matemática es, en principio, arbitraria, si bien es corriente tomar como axiomas propiedades que parezcan más intuitivas. En cualquier caso, no es infrecuente encontrarse con dos tratamientos axiomáticos distintos para una misma teoría, consistentes en tomar en una como un axioma lo que en la otra figura como propiedad demostrada, mientras que en esta otra figurará, en cambio, otra propiedad como axioma. Quiero decir: a partir de A, B y C se demuestra D, o bien, a partir de A, B y D se demuestra C.

Obviamente, la elección de los axiomas no es ningún acto de fe, como queda claro en la explicación anterior. Por otra parte, la expresión "acto de fe "es incompatible con el pensamiento matemático.

9) ¿Los términos " belleza " o " elegancia" tienen un papel en el pensamiento matemático?

Estos dos términos tienen un papel destacado en cualquier campo de la cultura y de la ciencia. La belleza y la elegancia en matemáticas están casi siempre relacionadas con la sencillez de la exposición y la claridad del lenguaje. También con cierta armonía en el desarrollo de los razonamientos y con la elección acertada de ejemplos y casos particulares que aclaren y faciliten la comprensión cabal de proposiciones de carácter general.

De todos modos, cabe distinguir la matemática en su proceso de creación de la matemática ya elaborada. En la primera se puede permitir un cierto desorden inicial, ya que estamos tratando de buscar vías para enfocar el problema, y actuamos un poco por instinto (más bien por analogía con problemas similares). En la exposición elaborada de un tema matemático, es de rigor alcanzar, si no la belleza, sí al menos la elegancia.

10)     ¿Existe una correlación entre la habilidad matemática y la inteligencia?

Tanto la habilidad matemática como la inteligencia son conceptos generales que exigen ciertas matizaciones. Respecto a la primera, no es lo mismo la habilidad para el cálculo aritmético o algebraico que la capacidad de intuición para enfocar acertadamente la resolución de un problema (generalmente surge como un chispazo de inspiración de forma aparentemente espontanea, aunque suele tener su origen en la analogía, a veces inconsciente, con problemas afines ya conocidos). También entra en este concepto la capacidad de abstracción de conceptos cada vez más alejados del objeto intuitivo de referencia, así como la habilidad para la organización de los resultados generales en un lenguaje formalizado.

En cuanto a la inteligencia, la situación es, si cabe, todavía más ambigua. En principio se podría definir como la facultad de conocer y comprender, pero ahí se incluyen las destrezas de todo tipo, así como la capacidad de análisis y síntesis y la facilidad para interiorizar conceptos abstractos.

La relación entre habilidad matemática e inteligencia no es, por tanto una relación lineal. La persona cuya inteligencia esté más abocada a las cuestiones prácticas, próximas a la realidad del mundo físico, tendrá más ventaja para los aspectos intuitivos de la actividad matemática, mientras que aquel cuya inteligencia se manifieste preferentemente en la capacidad de abstracción y las relaciones lógico-funcionales, estará más dotado para la matemática teórica y los fundamentos lógicos de la matemática, así como para la investigación epistemológica de esta ciencia en el contexto general de la filosofía.

11)   ¿Existe una distinción clara entre ser bueno o malo en matemáticas?

Esta pregunta queda, hasta cierto punto, contestada en la anterior .Sólo quiero añadir que es fácil distinguir, como en todo, los casos extremos. Sin embargo existen alumnos que podríamos clasificar como "posibles buenos mal orientados". La responsabilidad en esto de los profesores, especialmente los de enseñanza primaria, es muy considerable.


12)   ¿Cómo se han visto afectadas la naturaleza y la práctica de las matemáticas por las innovaciones tecnológicas, tales como los adelantos en informática?

En la naturaleza de las matemáticas, creo que nada en absoluto. En la práctica, sin duda, están siendo afectadas cada vez en mayor grado. En todo caso, no debemos olvidar que las innovaciones tecnológicas, y en particular las informáticas, por importantes que sean, no son más que un medio, un instrumento útil, pero nunca un fin en sí mismas.

13) a) Sólo la observación de patrones generales nos puede dar conocimiento b)  Sólo la observación de ejemplos específicos nos puede hacer comprender ¿En qué medida está de acuerdo con estas afirmaciones?

Son dos grandes verdades que obedecen a dos puntos de vista opuestos, aunque, en cierta medida complementarios. La aserción "b" es decisiva en dos aspectos distintos: por un lado se ajusta al proceso de creación de la matemática, proceso decididamente inductivo que, a partir del análisis de casos concretos, busca analogías, viaja hacia resultados generales. Por otra parte, esta afirmación "b" vuelve a ser muy útil para comprender de manera intuitiva una proposición ya establecida de carácter general.

La afirmación "a", por su parte, puede ser admitida (suprimiendo acaso el adverbio "sólo" ) como descripción de la matemática ya elaborada. Aquí el proceso es deductivo: el resultado general ya establecido se aplica a cada caso particular por especificación, dando resultados particulares cuya validez está garantizada por la proposición general ya demostrada de una vez por todas.

¿Cuál es el proceder más característico de las matemáticas? ¿El expresado por "a" o el expresado por "b"? Si hablamos de cada teorema matemático como algo ya demostrado y establecido, y lo aplicamos a un caso concreto, en un proceso deductivo, estamos en la vía "a". Si, por el contrario, estamos investigando una cuestión matemática y analizamos casos particulares con el fin de generalizar, en un proceso inductivo, buscando un teorema general, seguimos el aspecto "b".

Una vez obtenido el teorema general, como ya se ha dicho, volvemos a los ejemplos específicos, a fin de comprender mejor el verdadero sentido del teorema. Acercamos así los conceptos más abstractos a otros más próximos a la realidad física y, por tanto más cerca también de las posibles aplicaciones prácticas. Desde el punto de vista didáctico, puedo decir que en mis tiempos de estudiante en la Facultad, la tendencia era la marcada por la aserción "a", mientras que ahora veo una aceptación casi unánime de la afirmación "b".

Quizá, y con esto termino, convenga aprender ambos caminos, con un billete de ida y vuelta que, además, tiene la ventaja del descuento.